math - Get branch points of equation -

अगर मेरे पास सामान्य फ़ंक्शन है, तो f (z, a) , z < / Code> और a दोनों वास्तविक हैं, और फ़ंक्शन f सभी अंतराल को छोड़कर सभी z के वास्तविक मूल्यों पर ले जाता है (z1 , Z2) , जहां यह जटिल हो जाता है मैथमैटिका (या संभव है) का उपयोग कर मैं z1 और z2 (जो कि a के संदर्भ में होगा) निर्धारित कर सकता हूँ? सीमाएं क्या हैं?

एक परीक्षण उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f [z_, a _] = Sqrt [(z-a) (z-2a)] पर विचार करें। वास्तविक z और a के लिए, यह अंतराल (a, 2a) को छोड़कर वास्तविक मूल्यों पर ले जाता है, जहां यह काल्पनिक हो जाता है मैं गणितिका में इस अंतराल को कैसे प्राप्त करूं?

सामान्य तौर पर, मैं जानना चाहूंगा कि एक सामान्य मामले के लिए गणितीय खोज के बारे में कैसे जाना होगा। इस तरह से सिर्फ दो चर के साथ एक समारोह के लिए, यह संभवतः आरआईएमएन सतह की एक समोच्च योजना बनाने और शाखा कटौती का पालन करने के लिए सरल होगा। लेकिन क्या होगा अगर यह बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन है? क्या कोई ऐसा सामान्य दृष्टिकोण है जिसे कोई ले सकता है?

क्या आपको लगता है कि एक रिमेंन सतह परमेट्रिज़ेड है 'ए'। बीजगणित (या विश्लेषणात्मक) संबंध जी (ए, जेड) = 0 पर विचार करें जो कि एक पैरामीट्रिजड रिमेंन सतह की इस शाखा से उत्पन्न होगा इस मामले में यह केवल जी ^ 2 - (जेड-ए) * (जेड-2 * ए) == 0. अधिक सामान्यतया इसे ग्रोइबनेरबासीस का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है (कोई गारंटी नहीं यह हमेशा कुछ उपभोक्ता के बिना काम करेगा हस्तक्षेप)।

  grelation = पहले [ग्रोइबनेरबासीस [जी - एसक्टीआर [(z - ए) * (z - 2 * a)], {x, a, g}]]   
 आउट [472] = 2 एक ^ 2 - जी ^ 2 - 3 az + z ^ 2  
 शाखा अंक के लिए एक आवश्यक शर्त, पैरामीटर के कार्य के रूप में 'a ', यह है कि' जी 'के लिए शून्य सेट ऐसे बिंदुओं के पड़ोस में एक (एकल मूल्यवान) फ़ंक्शन नहीं देते। इसके बदले में इसका अर्थ है कि जी के संबंध में इस संबंध का आंशिक व्युत्पन्न विलुप्त होता है (यह बहुभिन्न पथरी के अंतर्निहित कार्य प्रमेय से है)। इसलिए हमें पता चलता है कि सरोकार और उसके व्युत्पन्न दोनों गायब हो जाते हैं, और 'ए' के ​​एक समारोह के रूप में 'z' के लिए हल करते हैं।  
  समाधान करें [हटाएं {{grelation == 0, D [grelation, g ] == 0}, g], z]   
 बाहर [481] = {{z - & gt; A}, {z - & gt; 2 ए}}  
 डैनियल लिट्टकब्लू वाल्फ्राम रिसर्च